Question

已知椭圆的离心率为，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点A、B．
（ I）求椭圆方程；
（ II）求△PAB面积的最大值．

Answer

（ I）由，知，由此能求出椭圆方程．
（ II）设直线AB的方程为：，与椭圆联列方程组得，，代入得：2x2+4mx+4m2-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出S△PAB的最大值．
【解析】
（ I）∵，
∴，
又P（2，1）在椭圆上，代入椭圆方程，
得：，
∴a2=8，b2=2，
椭圆方程为：…（6分）
（ II）设直线AB的方程为：，
与椭圆联列方程组得，，
代入得：2x2+4mx+4m2-8=0，…（8分）
∵△=16m2-8（4m2-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韦达定理得：x1+x2=-2m，
x1x2=2m2-4=
P到直线AB的距离：，…（12分）

当4-m2=m2，
即时，
S△PAB有最大值2     …（15分）