Question

已知函数是奇函数，且．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式可根据函数是奇函数得出等式f（-x）=-f（x），及建立方程，两者联立可求出函数的解析式．
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，要设0＜x1＜x2＜1，再f（x1）-f（x2）的符号，依据定义判断出结论即可．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为，
所以，解得p=2．
故所求解析式为．（6分）
（Ⅱ）由（1）得．
设0＜x1＜x2＜1，则．（10分）
因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1-x2＜0，1-x1x2＞0，
从而得到f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）