Question

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；
（Ⅱ）设函数y=f（x） （x∈（0，1））的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|≤1的充要条件；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证|a|＜．

Answer

（Ⅰ）先求f'（x），然后根据f'（2）=0求出a，根据f（2）=0可求出b；
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x2+2ax，对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，可转化成|-3x2+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立，
等价于3x-≤2a≤对任意的x∈（0，1）恒成立，可求出a的范围；
（Ⅲ）设x1，x2∈R则k==-[x12+x1x2+x22-a（x1+x2）]＜1，即x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0，对x1∈R恒成立，利用判别式可知△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0，对x2∈R恒成立，再运用判别式可求出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2ax（1分）
由f'（2）=0得a=3，（2分）
又f（2）=0得b=-4（3分）
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x2+2ax   x∈（0，1），
∴对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x2+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立（4分）
等价于3x-≤2a≤对任意的x∈（0，1）恒成立．（5分）
令g（x）=，h（x）=3x-，
则h（x）max≤a≤g（x）min，x∈（0，1）（6分）
≥，当且仅当x=时“=”成立，∴g（x）min=2（7分）
h（x）=3x-在（0，1）上为增函数∴h（x）max＜2（8分）
∴1≤a≤（9分）
（Ⅲ）设x1，x2∈R则k==-[x12+x1x2+x22-a（x1+x2）]＜1（10分）
即x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0，对x1∈R恒成立（11分）
∴△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0，对x2∈R恒成立
即3x22-2ax2+4（4-a2）＞0对x2∈R恒成立（13分）
∴4a2-12（4-a2）＜0
解得a2＜3⇒|a|＜（14分）