Question

已知函数，f'（x）是f（x）的导函数，若存在x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，且f'（x₁）=f'（x₂）=0，|x₁|+|x₂|=2．
（1）证明0＜a≤3；
（2）求实数b的取值范围．

Answer

（1）求导，．由f'（x1）=f'（x2）=0，x1、x2是方程f'（x）=0的两实根，由此能够证明0＜a≤3．
（2）由x1＜x2且，知x1＜0＜x2|x1|+|x2|=-x1+x2=2．所以（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=4．由此能求出实数a的范围．
【解析】
（1）求导，…（1分）
由f'（x1）=f'（x2）=0，x1、x2是方程f'（x）=0的两实根
∴，
从已知，
∴|x1x2|≤1，即
∴|a|≤3，又a＞0
∴0＜a≤3…（6分）
（2）∵x1＜x2且
∴x1＜0＜x2|x1|+|x2|=-x1+x2=2
∴（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=4
代入韦达定理关系，得
∴b=-3a3+9a2（0＜a≤3）…（9分）
求导，b'=-9a2+18a=-9a（a-2）
当a∈（0，2），b'＞0，b递增；
当a∈（2，3），b'＜0，b递减a=2时，
∴bmax=12，又当a=3时，b=0…（11分）
∴0≤b≤12为所求．…（12分）