Question

若f（x）=sinx，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₀₉′（x）=    ．

Answer

由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f2009（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．
【解析】
由题意f（x）=sinx，f1（x）=f′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=-sinx，f3（x）=f2′（x）=-cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2009=4×502+1，f2009（x）是一周中的第一个函数，故f2009（x）=cosx
故答案为cosx