Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x≥1，f（x）≥1时，有f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．

Answer

（1）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出函数f（x）的解析式；
（2）利用当x=1时，f（x）取得极值，可求函数的解析式，从而f（x）=x3-3x（x∈[-1，1]）是减函数，进而确定|f（x1）-f（x2）|最小值，证明即可．
（3）分类讨论：f（x）在[1，+∞）是减函数，时a不存在；f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．故a≤3． 从而可证．
【解析】
（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．则点M关于x=1的对称点（2-x，g（2-x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2-x）=-ax+x3．  …（3分）
（2）f′（x）=-a+3x2，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0⇒-a+3=0，得a=3，…（4分）
故f（x）=-3x+x3．f′（x）=-3+3x2=-3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数．  …（5分）fmin（x）=f（1）=-2，fmax（x）=f（-1）=2，…（7分）
故对任意x1，x2∈（-1，1），有|f（x1）-f（x2）|＜|2-（-2）|=4．  …（8分）
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=-a+3x2＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x2在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；  …（9分）
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．  …（11分）
设f（x）＞x≥1则f[f（x）]＞f（x），∴x＞f（x）矛盾，…（13分）
若x＞f（x）≥1则f（x）＞f[f（x）]∴f（x）＞x矛盾！
故f（x）=x．                                           …（15分）