Question

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（II）由 t∈[1，2]时，3tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．
【解析】
（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，
当x＞0时，，
有条件可得，，
即22x-2×2x-1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．
（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，
即m（22t-1）≥-（24t-1）．∵22t-1＞0，∴m≥-（22t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+22t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．