Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB
内一点，=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．

Answer

（1）要证明HC1⊥平面EDB即可利用线面垂直的判定定理即证明故需建立空间直角坐标系求出相应点的坐标然后利用向量的数量积进行计算即可．
（2）要求BC1与平面EDB所成的角可先求出BC1与平面EDB的法向量所成的角θ然后利用直线与平面所成的角与直线与其法向量所成的角的关系即可得解而由第一问可得即为平面EDB的法向量．
（3）要求三棱锥A-EDB的体积可轮换其顶点即求三棱锥E-ADB的体积．
证明：（1）设正方体的棱长为a，则，
∵
∴
又∵DE∩DB=D
∴HC1⊥平面EDB．
（2），设与所成的角为θ
∵
∴θ=45°．
由（1）知HC1⊥平面EDB
∴∠C1BH为BC1与平面EDB所成的角
∴∠C1BH=90°-45°=45°
（3）．