Question

已知函数f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），．
（1）试求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）函数h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定义域，并判断函数h（x）的增减性；
（3）（理）若（2）中函数h（x），有h（x）≥2在定义域内恒成立，求a的范围．
（文）若（2）中函数h（x）的最小值为3，试求a的值．

Answer

（1）令y=f（x）=log2（x2+1）（x≥0），求出函数的值域，然后将x用y表示，再进行互换，根据原函数的值域即为反函数的定义域，从而求出所求；
（2），讨论 a的正负，从而求出函数的值域，最后根据两增函数相加还是增函数可得函数的单调性；
（3）（理）讨论a的正负，分别求出函数h（x）的最小值，使最小值大于等于2，即可求出a的取值范围；
（文）讨论a的正负，分别求出函数h（x）的最小值使得最小值等于3，解方程即可．
【解析】
（1）令y=f（x）=log2（x2+1）（x≥0），
∴x2+1=2y即x=（y≥0）
∴．
（2），a＜0时，定义域为[0，+∞）；a≥0时，定义域为[a，+∞）；
此函数在定义域内单调递增（∵f-1（x）与g（x）在公共定义域内均为增函数，∴它们的和也为增函数）．
（3）（理）当a≥0时，由⇒a≥log25．
当a＜0时，由⇒a≤-4．∴a的取值范围是（-∞，-4]∪[log25，+∞）．
（文）当a≥0时，由；
当a＜0时，由．∴所求的a的值为a=log210或a=-9．