Question

已知数列{a_n}的通项为a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2010]内的所有“优数”的和为（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

Answer

由题意可得，a1•a2…an=log23•log34…logn+1（n+2）==log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k，在（1，2010]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求
【解析】
∵an=logn+1（n+2）
∴a1•a2…an=log23•log34…logn+1（n+2）
===log2（n+2）
若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k
在（1，2010]内的所有整数分别为：22-2，，23-2，…，210-2
∴所求的数的和为22-2+23-2+…+210-2==2026
故选：C