Question

已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）递增，对任意的实数θ∈R，是否存在这样的实数m，使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对所有的θ都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

根据f（x）为奇函数，可得到函数f（x）在R上的单调性，且f（0）=0，原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．
【解析】
∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0，
所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos2θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：
当t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立．
由t2-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得，t∈[-1，1]时，
令，即当且仅当时，，
故．
即存在这样的m，且．