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已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)递增,对任意的实数θ∈R,...

已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)递增,对任意的实数θ∈R,是否存在这样的实数m,使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的θ都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
根据f(x)为奇函数,可得到函数f(x)在R上的单调性,且f(0)=0,原不等式可化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),即cos2θ-3>2mcosθ-4m,令t=cosθ,原不等式可转化为t∈[-1,1]时,是否存在m∈R,使得g(t)=t2-mt+2m-2>0恒成立,将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围. 【解析】 ∵f(x)为奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则f(x)在R上为增函数,且f(0)=0, 所以原不等式可化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),∴cos2θ-3>2mcosθ-4m,即∴cos2θ-mcosθ+2m-2>0. 令t=cosθ,则原不等式可转化为: 当t∈[-1,1]时,是否存在m∈R,使得g(t)=t2-mt+2m-2>0恒成立. 由t2-mt+2m-2>0,t∈[-1,1],得,t∈[-1,1]时, 令,即当且仅当时,, 故. 即存在这样的m,且.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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