Question

已知，数列{a_n}有a₁=a，a₂=2，对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足．
（1）求a的值；
（2）求证数列{a_n}是等差数列；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b且，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，令，求数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”．

Answer

（1）利用s1=a1，分别代入可求a的值；
（2）欲证数列{an}是等差数列，只需证明an+2-an+1=an+1-an，利用可证；
（3）根据定义先表示出p1+p2+…+pn-2n=，再求其极限即可．
【解析】
（1）由已知，得，∴a=0…（4分）
（2）由a1=0得，则，
∴2（Sn+1-Sn）=（n+1）an+1-nan，即2an+1=（n+1）an+1-nan，
于是有（n-1）an+1=nan，并且有nan+2=（n+1）an+1，
∴nan+2-（n-1）an+1=（n+1）an+1-nan，即n（an+2-an+1）=n（an+1-an），
而n是正整数，则对任意n∈N都有an+2-an+1=an+1-an，
∴数列{an}是等差数列，其通项公式是an=2（n-1）．…（10分）
（3）∵
∴p1+p2+p3+…+pn-2n==；由n是正整数可得p1+p2+…+pn-2n＜3，
并且有，
∴数列{p1+p2+…+pn-2n}的“上渐进值”等于3．…（18分）