Question

函数f（x）=2^x，f（1）•f^-1（2）+f（2）•f^-1（4）+…+f（n）•f^-1（2ⁿ）=    ．

Answer

根据反函数求出，an=f（n）•f-1（2n）=2n•log22n=n•2n，的通项公式列举出数列{an}的前n项和Tn的各项，记作①，两边乘以2得到一个等式，记作②，①-②，根据等比数列的前n项和公式化简即可求出Tn的通项公式，进而求出数列的前n项和即可．
【解析】
∵函数f（x）=2x，
∴f -1（x）=log2x，
∴f（n）•f-1（2n）=2n•log22n=n•2n，
设Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n，①，
2Tn=22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②，
①-②得：-Tn=2+2（22+23+…+2n）-n•2n+1
=
=-[（n-1）2n+1+2]．
∴Tn=（n-1）2n+1+2．（14分）
故答案为：（n-1）2n+1+2．