设f（x）=a•（log2x）2+b•log2x+1（a，b＞为常数）．当x＞0...

设f（x）=a•（log₂x）²+b•log₂x+1（a，b＞为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（1）若f（ manfen5.com 满分网

）=0，且f（x）的最小值为0，则F（x）的解析式为；
（2）在（1）的条件下，若g（x）= manfen5.com 满分网

在[2，4]上是单调函数，则实数k的取值范围是．

（1）利用二次函数的最小值公式求出最小值令其为0，列出方程组求出a，b的值；利用奇函数的定义求出x＜0的解析式；求出F（0），得到F（x）的解析式．（2）令log2x=t，将g（x）转化为不含对数的函数的单调性问题，求出导函数，令导函数大于等于0或小于等于0恒成立，分离出k转化为函数的最值，求出k的范围【解析】 ∵ ∴ 解得设x＜0则-x＞0 ∴F（-x）=f（-x）=[log2（-x）]2+2log2（-x）+1 ∵F（x）为R上的奇函数 ∴F（x）=-F（x）=-[log2（-x）]2-2log2（-x）-1 ∵F（x）为奇函数 ∴F（0）=0 ∴ （2）∴ 令log2x=t，t∈[1，2]则，t∈[1，2]是单调函数 ∴（ t∈[1，2]）恒成立 ∴k≤t2或k≥t2，t∈[1，2]恒成立 ∴k≤1或k≥4 故答案为；k≤1或k≥4

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考点分析：

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已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求实数C的值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在点M（x，y），使f（x）在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由．

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