Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c同时满足以下条件：
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，f（x）≥-恒成立．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若{a_n}为等比数列，a₁=f（5），公比q=，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_n的最大值；
（3）令T_n=a₁a₂a₃…a_n（n∈N*），试求T_n的最大值．

Answer

（1）根据f（3-x）=f（x），可得a=；根据f（1）=0，知a+b+c=0，又对任意实数x，f（x）≥-恒成立，所以，从而可求y=f（x）的表达式；  
（2）先确定a1，q，进而由，从而可求Sn的最大值；
（3）先表示Tn=a1a2a3…an=，∴从而由{|Tn|}单调性，可得结论．
【解析】
（1）∵f（3-x）=f（x），∴a（3-x）2+b（3-x）+c=ax2+bx+c
∴-6a-b=b，∴a=                ①
∵f（1）=0，∴a+b+c=0，∴+b+c=0，∴c=            ②
∵对任意实数x，f（x）≥-恒成立
∴ax2+bx+c≥-，∴      ③
由①②③可得a=1，b=-3，c=2
∴f（x）=x2-3x+2
（2）a1=12，公比q==
∴，∴Sn的最大值为12；
（3）Tn=a1a2a3…an=，
∴
由||≥1得n≤7
由||≥1得n≥7
考虑Tn的正负，只有n=4k或4k+1（k是正整数）时Tn＞0
n=4k时，Tn＞0，Tn-1＜0，Tn+1＞0，≥1，所以4k≥7，k≥2，n=8，12，16，…
n=4k+1时，Tn＞0，Tn-1＞0，Tn+1＜0，，所以4k+1≤7，k＜=1，n=1，5
由{|Tn|}单调性，接下来只要比较T8和T5即可
因为T8＜T5，所以T5最大为．