Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求多面体B₁C₁ABC的体积．

Answer

（1）由已知，要证AC1⊥平面A1BC，可以证明AC1 与平面A1BC 内两条相交直线BC，BA1 都垂直即可，由A1D⊥平面ABC，证出BC⊥平面A1C1CA，再证出BC⊥AC1即可证明．
（2）多面体B1C1ABC的体积，转化求解．
（1）证明：

A1在底面ABC上的射影在AC上⇒A1D⊥平面ABC⇒A1D⊥BC，∵AC⊥BC，
∴BC⊥平面A1C1CA…（3分）AC1⊂平面A1C1CA，∴BC⊥AC1，BA1⊥AC1，A1B∩BC=B，∴AC1⊥平面A1BC…（7分）
（2）由（1）可知：A1C⊥AC1⇒ACC1A1是棱形；…（9分）
∵AC=2，点D为中点，AD⊥BC，∴△A1AC为正三角形，∴…（11分）
∴…（13分）