Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b₁=3，令b_n+1=a_bn，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求数列{T_n-6n}中最小项的值．

Answer

（1）由点（an，Sn）在曲线（x+1）2=4y上．可得（an+1）2=Sn×4，n≥2时，（an-1+1）2=Sn-1，两式相减结合an＞0可得an-an-1=2，由等差数列的通项公式可求
（2）由bn+1=可得bn+1-1=2（bn-1），b1=3，由等比数列的通项公式可求bn-1=2•2n-1=2n，利用分组求和及等比数列求和公式可求Tn，结合Tn-6n的单调性可求最小项的值
解（1）∵点（an，Sn）在曲线（x+1）2=4y上．
∴（an+1）2=Sn×4
当n≥2时，（an-1+1）2=Sn-1
两式相减可得Sn-Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2=an×4
即（an-1）2=（an-1+1）2
∴（an-an-1-2）（an+an-1）=0
∵an＞0∴an-an-1=2∵，（a1+1）2=4S1∴a1=1
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴an=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵bn+1=
∴bn+1-1=2（bn-1）∵b1=3
∴bn-1=2•2n-1=2n
∴bn=2n+1
∴Tn=b1+b2+…+bn
=2+1+22+1+…+2n+1
=
=2n+1+n-2
∴Tn-6n=2n+1-5n-2
令F（n）=2n+1-5n-2
∵F（n+1）-F（n）=2n+1-5
当n=1时，F（2）＜F（1）
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…F（3）＞f（2）
∴F（n）最小值为F（2）=-4