Question

某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．
（Ⅰ）求工厂每月盈利额ξ（万元）的所有可能取值；
（Ⅱ）若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
（Ⅲ）求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）由题意知，工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，得到相应的月盈利额ξ的取值量ξ=-30，5，40，75．
（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列
（III）根据上一问做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值．
【解析】
（I）工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，则相应的月盈利额ξ的取值量ξ=-30，5，40，75…（2分）
（II）月盈利额ξ的分布量：
P（ξ=-30）=C3（）3=，P（ξ=5）=C31（）2•=，
P（ξ=40）=C32（）2•=，P（ξ=75）=C33（）3=，
所以P（ξ≥40）=P（ξ=40）+P（ξ=75）=…（12分）
即

ξ -30 5 40 75
P

（III）Eξ=（-30）×+5×+40×+75×=54…（14分）