Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，E是棱A₁B₁的中点．
（1）求异面直线A₁B₁与BD的距离；
（2）求直线EC₁与BD所成角的大小．

Answer

（1）根据条件可得BB1⊥面ABCD，BB1⊥面A1B1C1D1故可得B1B⊥BD且B1B⊥A1B1，则根据异面直线间的距离的定义可知线段B1B的长即为所求．
（2）根据异面直线所成的角的定义可知需将异面直线转化为相交直线故可取A1D1中点H连接EH，HC1则可得EC1与BD所成角为∠HEC1（或其补角）然后在三角形EHC1中利用余弦定理即可求解．
【解析】
（1）∵B1B⊥AB，B1B⊥BC，
∴B1B⊥平面ABCD
∴B1B⊥BD
又B1B⊥A1B1，
∴线段B1B的长即为所求．
∵B1B=2，
∴异面直线A1B1与BD的距离为2．
（2）取A1D1中点H
∴EH∥B1D1
∴EH∥BD
∴EC1与BD所成角为∠HEC1（或其补角）
设正方体棱长为2，则HE=，EC1=，HC1=
∴cos∠HEC1===＞0
∴EC1与BD所成角为arccos