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如图,已知双曲线manfen5.com 满分网(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若点D满足:manfen5.com 满分网(O为原点)且manfen5.com 满分网
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点B的直线l交双曲线于 M、N两点,问在y轴上是否存在定点C,使manfen5.com 满分网为常数,若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.

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(1)先根据条求出A,B,P三点的坐标,结合求出D的坐标,再根据即可求出a和b之间的关系,进而求出曲线的离心率; (2)先假设存在定点C(0,n)使为常数u,设MN的方程为y=kx-1;联立直线方程与双曲线方程求出M,N的坐标与k之间的关系以及k所满足的范围;再求出的值结合为常数即可得出结论. 【解析】 (1)由题得B(0,-b),A(,P(c,) ∵2 ∴D为线段FP的中点  (1分) ∴D(c,, ∵ 即A、B、D共线(2分) ∴而, ∴-得a=2b ∴e=(4分) (2)∵a=2而e= ∴双曲线方程为①(5分) ∴B(0,-1) 假设存在定点C(0,n)使为常数u,设MN的方程为y=kx-1   ②(6分) 由②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0 由题意得得 设M(x1,y1),N(x2,y2), ∴(8分) 而 = 整理得:[4(n+1)2-8n-4u]k2+[8-(n+1)2+u]=0     (10分) 对满足, ∴解得n=4,u=17 故存在y轴上的定点C(0,4),使为常数17    (14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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