Question

对数列{a_n}，规定{Va_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中Va_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定{V^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中V^ka_n=V^k-1a_n+1-V^k-1a_n=V（V^K-1a_n）（规定Va_n=a_n）．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判断{Va_n}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2，所以△an+1-△an=2．由此能够判断{△an}是等差数列．
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，知△an+1-△an-△an+1+an=-2n，所以△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）△an=an+1-an=（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2 …（4分）
则△an+1-△an=2，
所以△an是首项为4，公差为2的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）△2an-△an+1+an=-2n，即△an+1-△an-△an+1+an=-2n
而△an=an+1-an，所以an+1-2an=2n，∴-=，（6分）
∴数列{ }构成以 为首项，为公差的等差数列，
即 =⇒an=n•2n-1．（7分）