Question

过点（0，4）的直线与双曲线的右支交于A，B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

如图：设过点（0，4）且与双曲线相切的直线为 l1，过点（0，4）且与渐近线y=-x平行的直线为l2．则直线AB的斜率k 应大于l1的斜率且小于l2的斜率．把直线 l1 的方程代入双曲线的方程化简，由△=0，解得l1的斜率为 ，从而得到斜率k 的范围．
【解析】
如图所示：过点（0，4）且与双曲线相切的直线为 l1，过点（0，4）且与渐近线y=-x平行的直线为l2．
则直线AB的斜率k 应大于l1的斜率且小于l2的斜率．
设直线 l1 的方程为y-4=k′（x-0），代入双曲线的方程化简得 （3-k2） x2-8kx-28-0．
由题意可得判别式△=0，解得 k′=，或 k′= （舍去）．
而l2的斜率等于-，故直线AB的斜率k满足 ＜k＜．
故选：B．