Question

已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer

（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）证明单调性可用定义或导数解决．
（1）解当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=
由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=
（2）证明当x∈（0，1）时，f（x）=，设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=
∵0＜x1＜x2＜1，∴＞0，-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，1）上单调递减．