Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC．

Answer

（1）连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，可得MN∥平面ACC1A1；
（2）由BC⊥AC，BC⊥CC11，则BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；
证明：（1）连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，
则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，
根据线面平行的判定得：
MN∥平面ACC1A1；
（2）由BC⊥AC，BC⊥CC11，则BC⊥平面ACC1A1，
连接AC1，则BC⊥AC1．
∵侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，
又因为MN∥AC1，
根据线面垂直的性质定理得：
MN⊥平面A1BC；