Question

已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（x，y），（-8，0）和（-2，0）．
（1）求证：AB=2AC的充要条件为x²+y²=16（y≠0）；
（2）若AB²+AC²=50，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）△ABC中，利用两点间的距离公式可得AB=2AC 等价于 =2 （y≠0），化简即x2+y2=16（y≠0）．
（2）若AB2+AC2=50，由基本不等式可得AB×AC≤25．△ABC中，由余弦定理求得cosA 的值，可得 sinA 的值，代入△ABC面积为 ×AB×AC sinA化简得△ABC面积的最大值．
【解析】
（1）证明：△ABC中，AB=2AC等价于=2 （y≠0），
即（x+8）2+y2=4（x+2）2+4y2 （y≠0），
即 x2+y2=16（y≠0）．
故AB=2AC的充要条件为x2+y2=16（y≠0）．
（2）若AB2+AC2=50，则  50≥2AB×AC，∴AB×AC≤25．
△ABC中，由余弦定理可得 36=AB2+AC2-2AB•ACcosA=50-2AB•ACcosA，∴cosA=，∴sinA=．
故△ABC面积为 ×AB×AC sinA=≤=12．
故△ABC面积的最大值为12．