Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）•e^x，当x=0时f（x）取到极大值，x=x₁时f（x）取到极小值，且x∈R时f（x）＞0恒成立．
（1）求a的取值范围；
（2）设A（0，f（0）），B（x₁，f（x₁）），，求证：．

Answer

（1）先求导函数，利用导数为0处取极值，可得a，b的关系，利用x∈R时f（x）＞0恒成立，从而可求a的取值范围；
（2）先求的坐标，从而可求数量积，利用（1）a的取值范围，可知 在（-4，-2）上单调递减，从而可证．
【解析】
（1）由题意，f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]•ex
∵当x=0时f（x）取到极大值，
∴f′（0）=a+b=0，∴x1=-a-2
∴-a-2＞0，∴a＜-2
∵x∈R时f（x）＞0恒成立
∴x2+ax+b＞0，x∈R时，恒成立
∴△=a2-4b=a2+4a＜0
∴-4＜a＜0
∴-4＜a＜-2；
（2）A（0，-a），B（-a-2，（a+4）e-2-a），∴
∵
∴g（a）=，g（a）在（-4，-2）上单调递减，
∴0＜g（a）＜6．
∴．