Question

A、B、C是△ABC的三个内角，f（A）=4sinA-sin²+sin2A+1．
（1）若f（A）=2，求角A；
（2）若f（A）-m-2cosA＜0当A时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用二倍角公式化简f（A）=2，可得sinA=，从而求得 A 的值．
（2）由题意可得当A时，大于sin（A-）的最大值，根据A-的范围求得sin（A-）的最大值为，
故有 ＞，由此求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）若f（A）=2，则4sinA•sin2+sin2A+1=2，即4sinA +2sinAcosA=1．
解得sinA=，∴A=，或 A=．
（2）若f（A）-m-2cosA＜0当A时恒成立，
则当A时，有2sinA+1-m-2cosA＜0，即sin（A-）＜恒成立，
故大于sin（A-）的最大值．
由-≤A-≤，∴sin（A-）的最大值为，∴＞，∴m＞3．
故实数m的取值范围为（3，+∞）．