Question

已知cosx），=（cosx，cosx），f（x）=．
（1）若，求x的取值集合；（2）求函数f（x）的周期及增区间．

Answer

（1）根据两向量垂直时其数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则得到一个关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数等于-，利用特殊角的三角函数值即可求出x的范围，进而得到x的取值集合；
（2）由（1）求出的f（x）的解析式，找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为f（x）的递增区间．
【解析】
（1）∵，∴=0，
而=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，
∴sin（2x+）+=0，即sin（2x+）=-，
∴2x+=2kπ-或2x+=2kπ-（k∈Z），
解得：x=kπ-或x=kπ-（k∈Z），
∴x的取值集合为{x|x=kπ-或x=kπ-（k∈Z）}；
（2）∵f（x）==sin（2x+）+，∴f（x）的周期T==π，
∵y=sinx的增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+，
∴f（x）的增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．