Question

把正偶数列{2n}中的数按“上小下大，左小右大”的原则排成如图“三角形”所示的数表，设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函数f（x）的反函数为f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n．①求数列{f（b_n）}的前n项和S_n；②令的前n项之积为T_n（n∈N^*），求证：．

Answer

（1）数表中是连续的偶数，amn是第m行的第n个数，n≤m，所以先计算前m-1行共有1+2+3+…+m-1=个数，再加上n等于1005，求出m，n的值．
（2）①先根据f（x）的反函数解析式求出f（x）的解析式，利用等差数列的求和公式，求出前n-1行共有多少个偶数，找到第n行的第一个数，再用等差数列的求和公式求出bn，代入f（x），利用错位相减求和即可．
②化简Tn，再利用数学归纳法证明成立即可．数学归纳法的步骤，先验证n取第一个数时命题成立，假设n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立．
【解析】
（1）因2010是第1005个偶数，而前m-1行共有1+2+…+n=个偶数，又∵n≤m，故2010位于第45行第15个偶数，故m=45，n=15
（2）①由y=n+125n•x3得：x=，f（x）=设T表示前n个偶数和，则
bn=-=-=n3+n
故f（bn）=，Sn=+++…+，
Sn=++…+
Sn=+++…++，
∴Sn=
②易知==
∴Tn=（n!）
要证只需证明=＜，
又只需证明=（1-）（1-）…（1-）＞，
下先用数学归纳法证明：（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）
（Ⅰ）当n=1时，1-=≥1-故n=1成立；
（Ⅱ）假设n=k时，=（1-）（1-）…（1-）＞1-（++…+），
则n=k+1时，=（1-）（1-）…（1-）（1-）＞1-（++…+）（1-），
=1-（++…++）+（++…+）＞1-（++…++），
故n=k+1也成立．
综合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）=1-
=
故原不等式成立．