Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设对所有n∈N*都成立的m的范围．

Answer

（1）设二次函数f（x）=ax2+bx．f'（x）=2ax+b，由2a=6b=-2，知f（x）=3x2-2x，由（n，Sn）在y=3x2-2x上，知Sn=3n2-2n．由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知Tn==，由．由此能求出所有n∈N*都成立的m的范围．
【解析】
（1）设二次函数f（x）=ax2+bx．
f'（x）=2ax+b，
∴2a=6b=-2．
∴f（x）=3x2-2x
（n，Sn）在y=3x2-2x上，
则Sn=3n2-2n．
又n≥2时an=Sn-Sn-1
=3n2-2n-3（n-1）2+2（n-1）
=6n-5
又n=1时a1=3-2=1=6×1-5符合，
∴an=6n-5．
（2）
Tn=b1+b2+…+bn
=
=
=
．
∴m＞（7Tn）max
Tn+1-Tn=bn+1＞0，
∴Tn随n增大而增大，
，
∴．