Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（I）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（II）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）并比较2f'（1）与23n²-13n的大小．

Answer

（I）根据an+1=Sn+1-Sn，得到n≥2时an+1和an关系式即an+1=2an+1，两边同加1得到an+1+1=2（an+1），最后验证n=1时等式也成立，进而证明数列{an+1}是等比数列．
（II）通过（I）{an+1}的首项为5公比为2求得数列an+1的通项公式，进而求得an的通项公式，代入f（x）进而求出f'（x），再求得f‘（1），进而求得2f‘（1）．要比较2f'（1）与23n2-13n的大小，只需看2f′（1）-（23n2-13n）于0的关系．
【解析】
（I）由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），
可得n≥2，Sn=2Sn-1+n+4两式相减得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1即an+1=2an+1
从而an+1+1=2（an+1）
当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11
从而a2+1=2（a1+1）
故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*又a1=5，a1+1≠0
从而=2即数列{an+1}是等比数列；
（II）由（I）知an=3×2n-1
因为f（x）=a1x+a2x2++anxn所以f′（x）=a1+2a2x++nanxn-1
从而f′（1）=a1+2a2++nan=（3×2-1）+2（3×22-1）++n（3×2n-1）
=3（2+2×22++n×2n）-（1+2++n）=3（n-1）•2n+1-+6．
由上2f′（1）-（23n2-13n）=12（n-1）•2n-12（2n2-n-1）
=12（n-1）•2n-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2n-（2n+1）]①
当n=1时，①式=0所以2f'（1）=23n2-13n；
当n=2时，①式=-12＜0所以2f'（1）＜23n2-13n
当n≥3时，n-1＞0又2n=（1+1）n=Cn+Cn1++Cnn-1+Cnn≥2n+2＞2n+1
所以（n-1）[2n-（2n+1）]＞0即①＞0从而2f′（1）＞23n2-13n．