Question

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：y=f（x）是R上的减函数；          
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若不等式对一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

Answer

（I）令x=-1，y=0，代入题设等式中求得f（0）=1，进而求得a1，先当x＞0时根据f（0）=f（-x）•f（x）推断出0＜f（x）＜1，设x1，x2∈R且x1＜x2，进而可知0＜f（x2-x1）＜1，利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x2）-f（x1）＜0，根据函数单调性的定义推断出函数为减函数．
（II）根据由 和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得进而可判断出是以1为首项，2为公差的等差数列．进而根据等差数列通项公式求得an．
（III）把题设中的不等式整理成 ，设出 ，进而表示出F（n+1），进而求得 进而推断出F（n）为关于n的单调增函数，进而根据 求得k的最大值．
【解析】
（Ⅰ）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1． 
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，
f（x2）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．
即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数．       …-（4分）
（Ⅱ）由得  ，所以．
因为y=f（x）是R上的减函数，所以，…（6分）
即，进而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以，所以．     …9
（Ⅲ）由对一切n∈N*均成立．
知对一切n∈N*均成立． 设，
知F（n）＞0且
又．
故F（n）为关于n的单调增函数，．  
所以，k的最大值为…（14分）