Question

已知数列{a_n}的首项，，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知，再由，知是以为首项，为公比的等比数列．由此可知．
（Ⅱ）由题意知，==≤an，所以对任意的x＞0，，n=1，2，…．
（Ⅲ）由题意知，对任意的x＞0，有=．由此入手能够求出．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，
∴，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
∴，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，====≤an，
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x＞0，有=．
∴取，
则．∴原不等式成立．