Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（1+m）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数单调性的定义，利用作差法，我们可以判断出函数f（x）在定义域（-1，1）上的单调性，进而结合（2）的结论，我们可将不等式f（1+m）+f（m）＜0转化为不等式组，解不等式组，即可得到实数m的取值范围．
【解析】
（1）使解析式有意义的条件为
，
∴函数的定义域为x∈（-1，1）（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称，
且，（6分）
（7分）
即f（-x）+f（x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数                                       （8分）
（3）设-1＜x1＜x2＜1，则（9分）

所以f（x）在（-1，1）上为减函数，（12分）
又∵f（1+m）+f（m）＜0
∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m）
．（14分）