Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=sinx是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=，求实数k的取值范围．
（3）若函数f（x）=2^x+x²，证明 f（x）∈M．

Answer

（1）根据题意，只要sin（x+1）=sinx+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值进行证明；
（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出对应的方程，再由一元二次方程有解的条件求出k的范围，注意二次系数是否为零；
（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．
【解析】
（1）由题意知f（x）=sinx，要f（x+1）=f（x）+f（1），即需sin（x+1）=sinx+sin1
显然当x=0时等式成立，即f（x）=sinx∈M．
（2）∵函数f（x）=，∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即，
∴x2+1=k（x2+2x+2），∴（k-1）x2+2kx+2k-1=0有解，
①k=1时，有解，符合；
②k≠1时，△=4k2-4（k-1）（2k-1）≥0，∴，
综上：．
（3）∵函数f（x）=2x+x2∈M，要证f（x）∈M，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，∴2x+1+（x+1）2=2x+x2+3有解，即2x+2x-2=0有解，
设h（x）=2x+2x-2，∵h（0）=-1，h（1）=2，
根据函数的零点存在性判定理得，存在x∈（0，1），h（x）=0，
即f（x+1）=f（x）+f（1）成立，∴f（x）∈M．