Question

已知函数
（1）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且，且a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若，且3a＞2c＞2b，试问：导函数f^′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．

Answer

（1）因为 ，因为x1，x3是方程 的两根，使用根与系数的关系，得出b，c与a的关系式，从而得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出减区间．
（2）求出 ，f'（0）=c，f'（2）=a-c，当c＞0时 f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，当c≤0时，f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
【解析】
（1）因为 ，又 ，
则 ．
因为x1，x3是方程 的两根，则 ，．即b=-3a，c=-4a．
所以． 
∴f'（x）=a（x2-3x-4），由x2-3x-4＜0，得-1＜x＜4．
故f（x）的单调递减区间是（-1，4），单调递增区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因为f'（x）=ax2+bx+c，，所以 ，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是 ，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①当c＞0时，因为 ，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为 ，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．