Question

已知函数，
（1）当a=1时，求的最小值；  
（2）对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用换元法，可将求 的最小值转化为利用基本不等式可求最小值；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由整理可得at2-2t-a3＞0①或at2+8t-a3＜0②．构造函数φ（t）=at2-2t-a3，因为△=4+4a4＞0，结合该函数的图象可求实数a的取值范围．
【解析】
令，则g（x）=t2-a2，．
（1）当a=1时，t≥1，故，因此，当且仅当t=1即x=0时取等号．
所以的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由整理可得at2-2t-a3＞0①或at2+8t-a3＜0②．因此①式或②式对于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．显然at2+8t-a3=a（t2-a2）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at2-2t-a3，因为△=4+4a4＞0，
结合该函数的图象可得或⇔（ I）或（ II）．
结合a＞0可知不等式组（ I）的解为，不等式组（ II）无解．所以．