Question

已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF．

Answer

（1）利用空间向量来证明，先建立空间直角坐标系，求出定点坐标，欲证AM∥平面BDE，只需用坐标证明向量与平面BDE上的一个向量是平行向量即可．
（2）欲证AM⊥平面BDF，只需证明向量与平面BDF中的两个不共线向量垂直即可，也即在平面BDF中找到两个向量，与向量数量积等于0．
【解析】
建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：
O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），
E（0，-1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）．
（1）∵
∴，即AM∥OE，
又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AM∥平面BDE；
（2）∵，
∴，
∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．