Question

设函数y=f（x），（x∈R^*）对于任意实数x₁、x₂∈R^*，都满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0且f（4）=1
（1）求证：f（1）=0
（2）求的值
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer

（1）因为函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），可以利用赋值法，令x1=x2=1，化简就可得到f（1）=0．
（1）函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=4，就可求出f（16）的值，再令x1=x2=，就可求出
的值．
（3）先用定义法证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，再利用函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），把不等式f（x）+f（x-3）≤1变形为f（x（x-3））≤f（4），就可利用函数的单调性解不等式．
解；（1）证明：∵函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=1，得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=4，就可求出f（16）的值，得f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2
再令x1=x2=，得，
∴
（3）先证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性
设，而
所以有f（x1）＜f（x2），从而函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，而不等式  f（x）+f（x-3）≤1等价于也即是 
解得x∈（3，4]