Question

已知P为椭圆9x²+2y²=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且，设点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交点A、B，且，求实数m的取值范围．

Answer

（I）先设出点P以及M的坐标，求出，；再结合，即可把点P的坐标用点M的坐标表示出来；最后把点P的坐标代入椭圆方程即可求出曲线E的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与曲线E的方程可得点A、B坐标与m之间的关系；再结合，即可求出实数m的取值范围（注意须满足直线一定与曲线E相交）．
【解析】
（I）设点P（x，y）是椭圆上一点，
则Q（x，0），M（x，y），，．
∵，（1分）
∴
∴即点P的坐标为（x，3y）．（3分）
点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x2+18y2=18．
即曲线E的方程为x2+2y2=2．（5分）
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=x+m与9x2+18y2=18联立
去y，得3x2+4mx+2m2-2=0．
由△=（4m）2-12（2m2-2）＞0，解得0≤m2＜3．
，．（7分）
由得．
 而x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）•（x2+m）
=2x1x2+m（x1+x2）+m2==（10分）
∴，即m2＞2，又0≤m2＜3，
∴2＜m2＜3．
∴实数m的取值范围是．（12分）