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已知函数,g(x)=logax.如果函数h(x)=f(x)+g(x)没有极值点,...

已知函数manfen5.com 满分网,g(x)=logax.如果函数h(x)=f(x)+g(x)没有极值点,且h′(x)存在零点.
(1)求a的值;
(2)判断方程f(x)+2=g(x)根的个数并说明理由;
(3)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)图象上的两点,平行于AB的切线以P(x,y)为切点,求证:x1<x<x2
(1)因为h′(x)存在零点,所以h′(x)=0有解,又因为h(x)没有极值点,所以在h′(x)=0的解的两侧函数的导数符号相同,所以对于方程h′(x)=0,满足△=0,就可求出a的值. (2)方程f(x)+2=g(x)可变形为,把方程的左右两边都看做是函数解析式,则只需在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象有几个交点,则方程f(x)+2=g(x)有几个不相等的实数根. (3)因为以P(x,y)为切点的切线平行于直线AB,所以切线斜率等于直线AB的斜率,即,就可把 x用A,B点的横坐标x1,x2表示,令,则,利用导数判断函数y=t-1-lnt 的单调性,就可得到x1<x<x2. 【解析】 (1)依题意, ∵h(x)无极值,h′(x)存在零点 ∴x2lna-2xlna+1=0的△=0, 即4(lna)2-4lna=0,解得a=e或1, ∵g(x)=logax, ∴a≠1, ∴所求的a的值为e. (2)方程f(x)+2=g(x)可变形为 在同一坐标系中作出函数和函数y=lnx的图象,如右图,观察图象,有两个交点, ∴方程f(x)+2=g(x)有两个不相等的实数根. (3)由已知, 所以= 设得:(t>1).构造函数y=t-1-lnt 当t≥1时,,所以函数y=t-1-lnt在当t≥1时是增函数 所以t>1时,t-1-lnt>0,所以x-x1>0得x>x1成 同理可得x<x2成立,所以x1<x<x2
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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