Question

有下列四个命题，其中真命题有（ ）
①{a_n}为等比数列，则a₁+a₅≤a₂+a₄；
②{a_n}为等差数列，则a₁•a₅≤a₂•a₄；
③对任意α，β，都有sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β；
④对任意α，β，都有cos（α+β）≠cosα+cosβ．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④

Answer

通过给变量取特殊值，举反例可得①④不正确，根据 a2•a4 -a1•a5 =3d2≥0，可得②正确．
利用两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系化简sin（α+β）sin（α-β）=sin2α-sin2β，故③正确．
【解析】
①不正确，如 an = 时，a1+a5 =，a2+a4 =．
②正确，因为 a2•a4 -a1•a5 =3d2≥0．
③正确，因为sin（α+β）sin（α-β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）
=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β=sin2α-sin2β．
④不正确，如 时，cos（α+β）=1，cosα+cosβ==1．
故②③正确，①④不正确．
故选B．