Question

已知向量，当x＞0时，定义函数．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，则：
①当a=1时，证明：；
②对任意θ∈[0，2π]，当2asinθ-2a+S_n≠0时，
证明：或．

Answer

（1）由题意得，令x=tanα，则，函数f（x）的值域为（0，1）．由此能求出原函数的反函数．
（2）因为a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，所以．
①【法一】三角代换：令an=tanαn，因为an＞0，且a1=1所以，所以，由此能够证明．
【法二】不等式放缩：因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1），故，又由原函数的值域知an+1∈（0，1），所以，则，由此能够证明．
②【法一】，所以=．由Sn＜2a，能够证明证明或．
【法二】因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1），所以，从而．由Sn＜2a，能够证明证明或．
【解析】
由题意得（x＞0）
令x=tanα，则
由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y2-2xy+x2=y2+y2x2
于是解得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）
（2）因为a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，所以
①【法一】三角代换    令an=tanαn，因为an＞0，且a1=1所以
所以
由于，所以
故数列{αn}为等比数列，其首项为，公比为，所以
于是，此处用到不等式x＜tanx
【法二】不等式放缩    因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1）
所以，又由原函数的值域知an+1∈（0，1）
所以，则
进而，所以于是
②【法一】，所以=
由Sn＜2a，则易得，又Sn＞0
则要证或
等价于证明
化简等价于，此式在0＜Sn＜2a的条件下成立；
【法二】因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1）
所以，从而从而Sn＜2a．
则易得，又Sn＞0
则要证或
等价于证明
化简等价于，此式在0＜Sn＜2a的条件下成立；