Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），求证：关于x的方程有两个不相等的实数根且必有一个根属于（x₁，x₂）；
（2）若关于x的方程在（x₁，x₂）的根为m，且成等差数列，设函数f （x）的图象的对称轴方程为x=x，求证：x＜m²．

Answer

（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为g（x），由
g（x1）g（x2）＜0，可得方程有一个根属于（x1，x2）．
（2）由题意可得，即a（2m2-x12-x22）+b（2m-x1-x2）=0，由、x2成等差数列，可得 x1+x2=2m-1，故b=-a（2m2-x12-x22），由证得结论．
证明：（1）∵，∴，
整理得：2ax2+2bx-a（x12+x22）-b（x1+x2）=0，（2分）
∴△=4b2+8a[a（x12+x22）+b（x1+x2）]=2[（2ax1+b）2+（2ax2+b）2]，
∵x1，x2∈R，x1＜x2，∴2ax1+b≠2ax2+b，（4分）
∵△＞0，故方程有两个不相等的实数根．                    （6分）
令，（7分）
则，
又f（x1）≠f（x2），则g（x1）g（x2）＜0，
故方程有一个根属于（x1，x2）．         （9分）
（2）∵方程在（x1，x2）根为m，
∴，∴a（2m2-x12-x22）+b（2m-x1-x2）=0，（10分）
∵、x2成等差数列，则x1+x2=2m-1，（12分）
∴b=-a（2m2-x12-x22），
故．                    （14分）