Question

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求点Q到BD的距离；
（3）求点A到平面QBD的距离．

Answer

（1）先证明PA⊥平面ABCD，由于AC为斜线PC在平面ABCD内的射影，AC⊥BD，根据三垂线定理可证PC⊥BD；
（2）设AC∩BD=O，连接OQ，则可知OQ的长就是点Q到BD的距离，从而可求点Q到BD的距离；
（3）过A作AH⊥OQ于H，则可知AH的长就是点A到平面QBD的距离，在△QAO中，利用等面积可求．
【解析】
（1）连接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD（2分）
∴AC为斜线PC在平面ABCD内的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∴PC⊥BD（4分）
（2）设AC∩BD=O，连接OQ
∵Q为PA中点，O为AC中点
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的长就是点Q到BD的距离（7分）
∵AB=2，PA=4∴
∴，QA=2
∴
即点Q到BD的距离为（9分）
（3）过A作AH⊥OQ于H
∵BD⊥QO，BD⊥PA
∴BD⊥平面AOQ∴BD⊥AH
又AH⊥OQ
∴AH⊥平面QBD
∴AH的长就是点A到平面QBD的距离（12分）
在△QAO中，，AQ=2，
∴（14分）