Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，则AB上的点P到AC、BC的距离的乘积的最大值是    ．

Answer

设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知=，整理求得 y=，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．
【解析】
如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，=，
即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=12-3y，y=
求xy最大，也就是那个矩形面积最大．
xy=x•=-（x2-3x），当x=时，xy有最大值3
故答案为3．