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已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=4 (1)判断两圆位置关...

已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=4
(1)判断两圆位置关系;
(2)若直线l为过点P(3,0)且与圆C1相切的直线,求直线l的方程;
(3)在x轴上是否存在一定点Q(m,0),使得过Q点且与两圆都相交的直线被两圆所截得的弦长始终相等?若存在,求出Q点的坐标,若不存在,请说明理由.

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(1)由于两圆的圆心距|C1C2 |=4,大于两圆的半径之和,故两圆相离. (2)由题意知,直线的斜率是存在的,由点斜式设出直线l的方程,由圆心C1 到直线l的距离等于半径,解方程求得 斜率k的值,即得直线l的方程. (3)由题意知与两圆都相交的直线的斜率是存在的,由点斜式设出直线l的方程,设原点(0,0)和点(4,0)到该直线的距离分别为d1,d2,由题意可得=,化简可得(13-8m)k2=3恒成立,即13-8m=0,且3=0,矛盾. 从而得到结论. 【解析】 (1)由于圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=4的圆心C1 (0,0),C2(4,0),半径分别为1和2. 两圆的圆心距|C1C2 |=4,大于两圆的半径之和,故两圆相离. (2)由题意知,直线的斜率是存在的,设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为 y-0=k(x-3),即kx-y-3k=0. 由圆心C1 到直线l的距离等于半径可得 1=,∴k=±. 故直线l的方程为 x-y-=0,或 x+y-=0. (3)由题意知与两圆都相交的直线的斜率是存在的, 故可以设其方程为y-0=k(x-m),即kx-y-km=0.设原点(0,0)和点(4,0)到该直线的距离分别为d1,d2,由题意可得=, 即 d22-d12=3,∴-=3, 即16k2-8k2m=3+3k2,即 (13-8m)k2=3恒成立. ∴13-8m=0,且3=0,矛盾. 故不存在定点Q(m,0),使得过Q点且与两圆都相交的直线被两圆所截得的弦长始终相等.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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