Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．

Answer

（1）由，AB⊥BC，知，由此能求出BC边所在直线方程；
（2）在BC边所在直线方程中，令y=0，得C（4，0），由此知圆心M（1，0），再由AM=3，可求出圆M的方程；
（3）由圆N过点P（-1，0），知PN是该圆的半径．再由动圆N与圆M内切，知MN+PN=3，故点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，由此能求出其轨迹方程．
【解析】
（1）∵，AB⊥BC，
∴，
∴（3分）
（2）在上式中，令y=0，得C（4，0），
∴圆心M（1，0）
又∵AM=3，
∴外接圆的方程为（x-1）2+y2=9（7分）
（3）∵P（-1，0），M（1，0）
∵圆N过点P（-1，0），
∴PN是该圆的半径
又∵动圆N与圆M内切，
∴MN=3-PN，即MN+PN=3（11分）
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，
∴，c=1，（13分）
，
∴轨迹方程为（15分）