Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得 f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称为 g（x）为函数 f（x）的一个承托函数，给出如下命题：
（1）定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
（2）g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
（3）g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数；
（4）函数，若函数g（x）的图象恰为f（x）在点处的切线，则g（x）为函数f（x）的一个承托函数．其中正确的命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

承托函数说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）
①举反例：f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题①不正确；
②举反例：当x∈（1，2）时，不满足f（x）≥g（x），说明g（x）=2x不是函数f（x）=2x的一个承托函数；
③可以用导数工具证明在R上 f（x）≥g（x）成立，故g（x）=ex为函数f（x）=ex的一个承托函数；
④函数f（x）在点处的切线穿过函数f（x）图象，不满足承托函数定义．因此不难得出答案．
【解析】

①f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题①不正确；
②举反例：当x∈（1，2）时，不满足f（x）≥g（x），比如x=时，，
说明g（x）=2x不是函数f（x）=2x的一个承托函数，故命题②不正确；
③令F（x）=f（x）-g（x）=ex-ex，F′（x）=ex-e=0，得x=1，
当x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
∴当x=1时，F（x）取最小值=e1-e=0，∴③正确；
④f（x）在点处的切线方程为=g（x），
取x=10，可以算得f（10）＜0＜g（10），g（x）不是函数f（x）的一个承托函数．命题④不正确．
故选B．