Question

已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=-1与x=处有极值．
（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）求出函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，2]上的最值．

Answer

首先求出函数的导数，然后f′（-1）=0，f′（ ）=0，解出a、b的值，（Ⅰ）求出函数的解析式；
（Ⅱ）f′（x）＜0，求出函数的单调区间；求出函数的增区间，然后求出函数的极值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出端点处函数值，从而求出函数f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
f′（x）=12x2+2ax+b，依题意有f′（-1）=0，f（ ）=0，
即 得
所以f（x）=4x3-3x2-18x+5
（Ⅱ）f′（x）=12x2-6x-18＜0，
∴（-1，）是函数的减区间
（-∞，-1），（ ，+∞）是函数的增区间．
减区间为（-1，），
所以，函数的极大值为16，函数的极小值为
（Ⅲ）f（-3）=-76，
f（ ）=-，
f（2）=-11，由（Ⅰ）知极大值为16，
∴最大值为f（x）max=16，最小值为f（x）min=-76